Ngtjyty

En càlcul vectorial, el gradient ∇f{displaystyle nabla f} d'un camp escalar f{displaystyle f} és un camp vectorial que indica en cada punt del camp escalar la direcció del màxim increment d'ell mateix. El gradient es representa mitjançant l'operador diferencial nabla ∇{displaystyle nabla } seguit de la funció.

Definició

Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a

∂ϕ∂n=(gradϕ)⋅n^{displaystyle {frac {partial phi }{partial n}}=({rm {gradphi )cdot {hat {n}}}}}

on n^{displaystyle {hat {n}}} és un vector unitari i ∂ϕ/∂n{displaystyle partial phi /partial n} la derivada direccional de ϕ{displaystyle phi } en la direcció de n^{displaystyle {hat {n}}} (que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):

∂ϕ∂n≡limϵ→0ϕ(r→+ϵn^)−ϕ(r→)ϵ{displaystyle {frac {partial phi }{partial n}}equiv lim _{epsilon to 0}{frac {phi ({vec {r}}+epsilon {hat {n}})-phi ({vec {r}})}{epsilon }}}

Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dóna el diferencial del camp escalar

dϕ=ϕ(r→+dr→)−ϕ(r→)=∇ϕ⋅dr→{displaystyle dphi =phi left({vec {r}}+d{vec {r}}right)-phi left({vec {r}}right)=nabla phi cdot d{vec {r}}}

Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.

El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla

gradϕ=∇ϕ{displaystyle {rm {grad}}phi =nabla phi }

Propietats

El gradient verifica que:

• És ortogonal a les superfícies definides per ϕ{displaystyle phi ,!} = ct.


• Apunta en la direcció en què la derivada direccional és màxima.


• El seu mòdul és igual a la derivada direccional màxima.


• S'anul·la en els punts estacionaris màxims, mínims.


• El camp format pel gradient en cada punt és sempre irrotacional, és a dir, ∇×(∇ϕ)≡0→{displaystyle nabla times (nabla phi )equiv {vec {0}}}
  

Expressió en diferents sistemes de coordenades

A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades.
Així, en coordenades cartesianes, és

∇ϕ=(∂ϕ∂x,∂ϕ∂y,∂ϕ∂z){displaystyle nabla phi ={begin{pmatrix}{frac {partial phi }{partial x}},{frac {partial phi }{partial y}},{frac {partial phi }{partial z}}end{pmatrix}}}

En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió

∇ϕ=1h1∂ϕ∂q1q^1+1h2∂ϕ∂q2q^2+1h3∂ϕ∂q3q^3{displaystyle nabla phi ={frac {1}{h_{1}}}{frac {partial phi }{partial q_{1}}}{hat {q}}_{1}+{frac {1}{h_{2}}}{frac {partial phi }{partial q_{2}}}{hat {q}}_{2}+{frac {1}{h_{3}}}{frac {partial phi }{partial q_{3}}}{hat {q}}_{3}}

Per coordenades cilíndriques (hρ=hz=1{displaystyle h_{rho }=h_{z}=1}, hφ=ρ{displaystyle h_{varphi }=rho }) resulta

∇ϕ=∂ϕ∂ρρ^+1ρ∂ϕ∂φφ^+∂ϕ∂zz^{displaystyle nabla phi ={frac {partial phi }{partial rho }}{hat {rho }}+{frac {1}{rho }}{frac {partial phi }{partial varphi }}{hat {varphi }}+{frac {partial phi }{partial z}}{hat {z}}}

i finalment per coordenades esfèriques (hr=1{displaystyle h_{r}=1}, hθ=r{displaystyle h_{theta }=r}, hφ=rsinθ{displaystyle h_{varphi }=r{rm {sin}}theta })

∇ϕ=∂ϕ∂rr^+1r∂ϕ∂θθ^+1rsinθ∂ϕ∂φφ^{displaystyle nabla phi ={frac {partial phi }{partial r}}{hat {r}}+{frac {1}{r}}{frac {partial phi }{partial theta }}{hat {theta }}+{frac {1}{r,{rm {sin}},theta }}{frac {partial phi }{partial varphi }}{hat {varphi }}}

Exemple

Donada la funció ϕ=2x+3y2−sin⁡(z){displaystyle phi =2x+3y^{2}-sin(z)}, el seu gradient associat és:

∇ϕ=(∂ϕ∂x,∂ϕ∂y,∂ϕ∂z)=(2,6y,−cos⁡(z)).{displaystyle nabla phi ={begin{pmatrix}{frac {partial phi }{partial x}},{frac {partial phi }{partial y}},{frac {partial phi }{partial z}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{2},{6y},{-cos(z)}end{pmatrix}}.}

Vegeu també

• Divergència