Ngtjyty

Aquest article tracta sobre el segment que uneix dos vèrtexs no consecutius d'un polígon o políedre. Vegeu-ne altres significats a «Diagonal (desambiguació)».

Diagonals d'un cub de costats de longitud unitària. AC' (pintat en blau) és una diagonal espacial de longitud 3{displaystyle {sqrt {3}}}, mentre que AC (pintat en vermell) és una diagonal de cara de longitud 2{displaystyle {sqrt {2}}}.

Una diagonal és una línia que uneix dos vèrtexs no consecutius d'un polígon o d'un políedre. En sentit col·loquial, una diagonal és una recta o segment amb certa inclinació. En matemàtiques, a part del seu significat geomètric, el terme diagonal també s'usa en matrius per referir-se a un conjunt d'elements al llarg d'una línia diagonal.

Etimologia

La paraula diagonal prové del grec antic διαγώνιος, diagonios ("d'angle a angle").^[1] Fou utilitzada tant per Estrabó^[2] com per Euclides^[3] per referir-se al segment que connecta dos vèrtexs d'un rombe o cuboide,.^[4] Està formada pels elements διά-, dia- ("a través") i γωνία, gonia ("angle", relacionada amb gony, "genoll"), i després fou adoptada en llatí com diagonus ("línia inclinada").

Nombre de diagonals d'un polígon

Per un polígon convex o còncau de n costats, el nombre de diagonals ve donades per l'equació:

Nd=n(n−3)2{displaystyle N_{d}={frac {n(n-3)}{2}}}

Aquest resultat s'obté raonant de la següent manera: a partir de cadascun dels n vèrtexs poden traçar-se n - 3 diagonals, ja que no hi ha diagonals cap al mateix vèrtex ni cap als 2 vèrtexs adjacents. Com que la diagonal que va d'un vèrtex A a un altre B i la que ve d'aquest vèrtex B de tornada al vèrtex A són la mateixa diagonal, es divideix per dos per evitar comptar aquesta diagonal dues vegades.

Matrius

Article principal: Matriu (matemàtiques)

En el cas d'una matriu quadrada, la diagonal principal és la línia diagonal d'elements que va de la cantonada superior esquerra fins a la cantonada inferior dreta. Per una matriu A{displaystyle A} amb l'índex de fila especificat per i{displaystyle i} i l'índex de columna especificat per j{displaystyle j}, la diagonal principal està formada pels elements Aij{displaystyle A_{ij}} que compleixin i=j{displaystyle i=j}. Per exemple, la matriu identitat es defineix com aquella que té tot d'uns a la diagonal principal i zeros a la resta de la matriu:

(100010001){displaystyle {begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}}}

La diagonal que va de la cantonada superior dreta a la cantonada inferior esquerra s'anomena diagonal menor o antidiagonal. Una matriu diagonal és aquella que té tots els elements que no es troben sobre la diagonal principal iguals a zero.

Geometria

Per analogia, el subconjunt del producte cartesià X×X de qualsevol conjunt Xamb ell mateix, consistint de tots els parells (x,x), s'anomena diagonal i és el graf de la relació identitat. Juga un paper important en geometria: per exemple, el punt fix d'una relació F des de X a ella mateixa es pot obtenir intersecant el graf de F amb la diagonal.

En estudis de geometria, és comuna la idea d'intersecar la diagonal amb ella mateixa, no directament sinó pertorbant-la amb una classe equivalent. Això està relacionat a un nivell més profund amb la característica d'Euler i els zeros de camps vectorials. Per exemple, el cercle té nombres de Betti 1, 1, 0, 0, 0 i, per tant, la seva característica d'Euler és 0. Una manera geomètrica d'expressar això és mirar a la diagonal del tor doble S¹xS¹ i observar que es pot moure cap a fora d'ell mateix amb el petit moviment (θ, θ) a (θ, θ + ε). En general, el nombre d'intersecat del graf d'una funció amb la diagonal es pot calcular usant l'homologia amb el teorema del punt fix de Lefschetz; l'autointersecat de la diagonal és el cas especial de la funció identitat.

Referències

Vegeu també

• Forma canònica de Jordan


• Diagonal principal

Enllaços externs

• 
  Diagonals d'un polígon amb animació interactiva (anglès)
  

Viccionari