Ngtjyty

Euclides d'Alexandria

La geometria euclidiana és la part de la geometria que estudia els objectes o figures i les seves relacions en un espai on es compleixen els cinc postulats d'Euclides i les cinc nocions comunes.

Aquests postulats i nocions comunes varen ser recollides en un tractat de geometria escrit per Euclides d'Alexandria, que constava de tretze llibres i que es deia els Elements.

La característica fonamental de la geometria euclidiana és, pel cas del pla, l'existència i unicitat d'una recta paral·lela a un recta donada que passi per un punt determinat exterior a la recta. Per a dimensions superiors, es poden enunciar proposicions anàlogues.

Les nocions comunes i els postulats d'Euclides

Els cinc postulats d'Euclides (I, II, III, IV i V) i el postulat de les paral·leles (V'), que tradicionalment ha substituït el cinquè postulat d'Euclides

Les cinc nocions comunes enunciades per Euclides fan referència a la magnitud. Serveixen per a calcular la longitud de rectes, angles, àrees, arcs de circumferència, etc.

Les cinc nocions comunes són:

1. Coses iguals a una mateixa cosa, són iguals entre si.


2. Si a coses iguals s'afegeixen coses iguals, els totals seran iguals.


3. Si de coses iguals se'n resten coses iguals, les diferències seran iguals.


4. Coses iguals que coincideixin a una tercera són iguals entre si.


5. El tot és major que les parts.

Els cinc postulats d'Euclides són enunciats senzills i evidents de la geometria plana. El fet que siguin evidents en fa impossible una demostració absolutament rigorosa i s'admeten com a certs sense necessitat de demostrar-los.

Els cinc postulats són els següents:

1. Dos punts diferents es poden unir per una recta.


2. Un segment rectilini pot ser allargat indefinidament mitjançant una recta.


3. Donats un segment rectilini i un punt qualssevol, existeix una circumferència de centre en aquest punt i radi en el segment donat.


4. Tots els angles rectes són iguals.


5. Si dues rectes intersecten amb una tercera, de manera que la suma dels angles interiors a un costat és menor de dos angles rectes, llavors les dues rectes inevitablement es tallen en el mateix costat si s'allarguen suficientment.

El cinquè postulat, anomenat de les paral·leles, tradicionalment s'ha substituït pel postulat equivalent: Donats una recta i un punt exterior a la recta, existeix una única recta que conté aquest punt i que és paral·lela a la recta donada.

Més endavant es va veure que faltaven postulats. Per exemple, Euclides assumeix que una recta conté almenys dos punts. Aquest resultat, que no pot ser deduït dels cinc postulats anteriors, és doncs necessàriament, un altre postulat. Aquest fet va fer que, a partir del segle XIX, es proposessin nous sistemes axiomàtics més consistents. Els més coneguts són els de Hilbert, Birkhoff i Tarski.

Els Elements

Fragment d'Els elements d'Euclides, escrit en papir, trobat al jaciment d'Oxirrinco (Oxyrhynchus), Egipte

Article principal: Elements d'Euclides

Els Elements és un tractat de geometria escrit per Euclides d'Alexandria a principis del segle III aC, en què es descriu el primer sistema formal de geometria. Ha sigut un dels llibres més influents i revolucionaris en les matemàtiques, tant pel mètode utilitzat com pel seu contingut. El mètode consistia a assumir com a certs una petita llista d'enunciats (postulats o axiomes) i a partir d'aquests deduir altres propietats més complexes. Encara que molts dels resultats que apareixen als Elements ja eren coneguts per matemàtics anteriors a Euclides, és ell el primer que els inclou tots dins d'una mateixa estructura lògica de la qual pot ser deduïda la veracitat.

El llibre tracta de la geometria plana, de sòlids en tres dimensions i fa una extensa discussió sobre les magnituds des d'un punt de vista geomètric. Amb posterioritat, algun d'aquests resultats formarà part del que es coneix com a teoria de nombres.

El postulat de les paral·leles

Dels cinc postulats d'Euclides, n'hi ha un que sobresurt respecte als altres per la seva complexitat. Mentre que els quatre primers són nocions molt simples i evidents, la veracitat del cinquè postulat és, a priori, més discutible. D'aquest fet, se'n van adonar molts matemàtics que creien que era possible deduir-lo dels quatre anteriors i, per tant, podia ser eliminat.
Es creu que el mateix Euclides també n'era conscient, perquè estructura les proposicions dels Elements de manera que les primeres no necessiten el cinquè postulat per a ser demostrades, i les darreres sí.
Tots els intents posteriors van ser en va. Fins al 1763, es van publicar almenys 28 demostracions diferents del cinquè postulat, però totes eren incorrectes.

La geometria euclidiana analítica

Gràcies a Descartes i l'ús de coordenades, a partir del segle XVII, va ser possible començar a estudiar la geometria utilitzant els principis de l'àlgebra. Va ser un fet revolucionari que va permetre descobrir nous resultats i facilitar-ne la demostració d'altres. Eren els inicis de la geometria analítica.

Extensió a altres dimensions

Tot i que els postulats d'Euclides eren per la geometria plana, es podien estendre a tres dimensions fent reformulacions anàlogues.

Per exemple, el tercer postulat diu: Donats un segment rectilini i un punt qualssevol, existeix una circumferència de centre amb aquest punt i radi el segment donat. Aquest postulat pot ser reformulat en l'espai de tres dimensions de la manera següent: Donats un segment rectilini i un punt qualssevol, existeix una esfera de centre amb aquest punt i radi el segment donat.

Per a dimensions superiors, el procediment és similar i se'n poden deduir resultats equivalents.

La geometria no euclidiana

L'enigma al voltant del postulat de les paral·leles va ser resolt definitivament el 1829 pel matemàtic rus Lobachevsky en publicar un tractat de geometria hiperbòlica. Fins aquell moment i durant més de dos mil anys, l'adjectiu euclidiana per referir-nos a la geometria havia sigut innecessari, car era l'únic tipus de geometria conegut.

La geometria hiperbòlica considera que, per un punt exterior a una recta, hi passen més d'una recta paral·lela. Posteriorment, Riemann, a més a més de treballar en la geometria hiperbòlica, va descobrir la geometria el·líptica, que estableix que, per un punt exterior a una recta, no hi passa cap recta paral·lela, o en altres paraules, que no existeixen rectes paral·leles. Naixia la geometria no euclidiana, que negava el cinquè postulat d'Euclides.

Definitivament, el cinquè postulat era necessari, ja que a partir d'un postulat alternatiu totalment diferent se'n podien deduir propietats i resultats geomètrics totalment consistents amb les noves regles lògiques.

Per exemple, l'enunciat que la suma dels angles d'un triangle és de 180° només és vàlid per a la geometria euclidiana. En la geometria hiperbòlica, aquesta suma és sempre inferior a 180° i pot aproximar-se a 0, mentre que en la geometria el·líptica la suma és superior a 180°.

El descobriment de la geometria no euclidiana va tenir implicacions en la física durant el segle XX. Per exemple, donada la limitació de la velocitat de la llum, la suma de velocitats necessita l'ús de la geometria hiperbòlica, i la teoria de la relativitat d'Einstein descriu l'espai normalment com a una forma plana (és a dir, euclidià), però amb curvatura el·líptica (és a dir, no euclidià) en les regions properes on hi ha matèria.

Teoremes clàssics

• 
  Teorema de Pitàgores.


• 
  Teorema de Tales.

Problemes clàssics

• 
  Quadratura del cercle.


• 
  Duplicació del cub.


• 
  Trisecció de l'angle.

Vegeu també

• 
  Construcció amb regle i compàs.


• 
  Nombre construïble.


• 
  Polígon construïble.


• 
  Diagrames de Voronoi.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Geometria euclidiana

• 
  Els Elements d'Euclides.


• 
  Kiran Kedlaya, Geometry Unbound (un tractat sobre geometria analítica; en format PDF, amb llicència GFDL) (anglès).


• 
  Geometria a Cut-the-knot (una col·lecció de problemes de geometria, HTML amb applets java) (anglès).


• 
  Geometria pas a pas des de la Terra dels Inques d'Antonio Gutierrez (necessita flash) (anglès).


• 
  Lliçons de geometria en PowerPoint (anglès).

Bibliografia

• 
  Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics. 4a ed.. New York: Dover Publications, 1960, p. 50–62. ISBN 0-486-20630-0. 
  


• 
  Boyer, Carl B. A History of Mathematics. Segona edició. John Wiley & Sons, Inc., 1991. ISBN 0471543977. 
  


• 
  Franzén, Torkel. Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters, 2005. ISBN 1-56881-238-8. 
  


• 
  Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements (3 vols.). 2a ed.. New York: Dover Publications, 1956. ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).  Traducció autoritzada de Heath d'Els Elements d'Euclides amb un extensiu compendi històric de la seva recerca i comentaris detallats al llarg del text.


• 
  Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Basic Books, 1979. 
  


• 
  Nagel, E; Newman, JR. New York University Press. Gödel's Proof, 1958. 
  


• 
  Tarski, Alfred. A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. University of California Press, 1951. 
  

Els Elements d'Euclides en línia

• 
  En català.


• 
  En grec antic (Versió d'impremta en PDF, de domini públic).


• 
  Edició bilingüe grec-anglès (Versió d'impremta, amb les versions original (en grec) i traduïda (en anglès) acarades; gratuïta en PDF, disponible en paper).


• 
  En anglès (HTML, amb figures en forma d'applets Java, que l'usuari pot manipular).


• 
  Traducció a l'anglès de Heath (HTML, sense figures, de domini públic).


• 
  Edició en anglès de 1847 d'Oliver Byrne - versió poc habitual que utilitza colors en lloc d'etiquetes com ABC (pàgines digitalitzades, de domini públic).


• 
  Reading Euclid - un curs en anglès sobre com llegir Euclides en el grec original, amb traduccions en anglès i comentaris (HTML amb figures).


• 
  Mapa Mental d'Els elements - interactiu en anglès.