Ngtjyty

Esfera

Tipus	esferoide, lloc geomètric i superfície quàdrica real no degenerada
Més informació
MathWorld	Sphere

En geometria, una esfera és la superfície formada per tots els punts que es troben a una mateixa distància (anomenada radi) d'un punt donat (anomenat centre) de l'espai.
El segment que uneix un punt de l'esfera amb el seu centre també rep el nom de radi.
Una recta que passa pel centre de l'esfera la talla en dos punts; el segment que determinen s'anomena diàmetre. Tots els diàmetres tenen la mateixa longitud, també anomenada diàmetre. El diàmetre val el doble que el radi, i és la màxima distància entre dos punts de l'esfera.

En llenguatge comú també s'anomena esfera la regió sòlida limitada per una superfície esfèrica, tot i que el terme matemàtic per designar aquesta regió és bola.
El nom de l'esfera prové del terme grec σφαῖρα, sfaîra, «bola».

Equació

En un sistema de coordenades ortogonal i unitari, l'equació de l'esfera unitària centrada a l'origen de coordenades és:
x² + y² + z² = 1

Aquesta equació s'obté considerant el punt M(x,y,z) de l'esfera i considerant el mòdul del vector OM és igual a 1.

Més generalment l'esfera de radi r, de centre Ω(a, b, c) té com equació:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

L'equació del pla tangent al punt M(x',y',z') s'obté mitjançant el desdoblament de les variables: en el cas de l'esfera unitària:
x·x' + y·y' + z·z' = 1

I al segón exemple:
(x - a)·(x' - a) + (y - b)·(y' - b) + (z - c)·(z' - c) = r²

Superfície i volum

La superfície d'una esfera de radi r és:
  S=4πr2{displaystyle !S=4pi r^{2}}

El volum d'una esfera de radi r és:
  V=43⋅π⋅r3{displaystyle V={frac {4}{3}}cdot pi cdot r^{3}}

Si es considera la superfície i el volum com funcions S(r) i V(r) del radi, llavors es nota que la superfície és la funció derivada del volum. Aquest fet no és casualitat, ja que es pot descompondre el volum en capes de gruix arbitràriament petit dr (diferencial de r), i els volums d'aquestes capes s'aproximen a S(r)·dr quan dr tendeix a 0. Sumant els volums infinitesimals de totes aquestes capes (en quantitat infinita) quan el radi r via de zero a R dóna per definició la integral següent:
V(R)=∫0RS(r)dr{displaystyle V(R)=int _{0}^{R}S(r)dr}

Zona i segment esfèrics

Una zona esfèrica és la part de la superfície esfèrica delimitada per dos plans paral·lels que tallen l'esfera, formant dos cercles anomenats bases. L'àrea de la zona esfèrica, d'una esfera de radi r, delimitada per dues bases separades per una altura h és:

A = 2 · π · r · h

Un segment esfèric és el sòlid delimitat per una zona esfèrica i els dos plans paral·lels que el delimiten. El volum del segment esfèric, d'una esfera de radi r, delimitat per dues bases, de radis a i b respectivament, separades per una altura h és:

V = 1/6 · π · h · (h2 + 3·a2 + 3·b2)

Com a cas especial de zona esfèrica, un casquet esfèric és una zona esfèrica delimitada per un sol pla que talla l'esfera (un dels dos plans anteriors seria tangent, o amb una base de radi 0). En aquest cas, l'àrea del casquet es calcula com per a un segment de dos bases, i el volum del casquet seria simplement:

V = 1/6 · π · h · (h2 + 3·a2)

Un hemisferi és un casquet esfèric delimitat per un sol pla que passa per un cercle màxim de l'esfera.

Fus i tascó esfèrics

Un fus esfèric o lúnula és una de les dues parts (oposades i simètriques) de la superfície esfèrica delimitada per dos cercles màxims que es tallen. L'àrea d'un fus esfèric, d'una esfera de radi r, amb una longitud angular de θ (l'angle de tall dels cercles màxims, en radians) és:

A = 2 · r2 · θ

Un tascó esfèric o cuny és el sòlid delimitat per un fus esfèric, i els dos plans que el delimiten, que es tallen a l'eix de l'esfera. El volum d'un cuny esfèric, d'una esfera de radi r, amb una longitud angular de θ (en radians) és:

V = 2/3 · r3 · θ

Triangle esfèric

Un triangle esfèric és una part de la superfície esfèrica delimitada per tres cercles màxims que es tallen. L'àrea d'un triangle esfèric, d'una esfera de radi r, amb angles L, M i N (mesurats en radians) és:

A = r2 · (L + M + N - π)

La magnitud (L + M + N - pi) s'anomena excés esfèric, i és l'excés sobre pi de la suma dels tres angles del triangle esfèric (els tres angles d'un triangle sobre el pla euclidià sumen sempre pi, en canvi els tres angles d'un triangle esfèric sumen sempre més gran que pi).

Sector esfèric

Un sector esfèric és el sòlid limitat per una superfície cònica que té el vèrtex en el centre d'una esfera, i la superfície de l'esfera. Si S és l'àrea de la part d'esfera que el limita i r n'és el radi, el volum del sector val rS/3.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Esfera

• Demostració de la fórmula del volum de l'esfera utilitzant el principi de Cavalieri

Viccionari