Ngtjyty

En càlcul (matemàtiques), la regla de L'Hôpital és un teorema utilitzat principalment per determinar límits que d'altra manera foren complicats de calcular. Es pot aplicar si es tracta de cercar un límit d'un quocient entre dues funcions contínues, f(x)g(x){displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}}}, el numerador i denominador del qual tendeixen a zero (infinitèsims) o bé el denominador, a l'infinit. Per calcular el límit es deriva independentment el numerador i el denominador i es determina el límit del quocient entre aquestes derivades. Si el límit existeix, la regla afirma que coincidirà amb el límit de f(x)g(x){displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}}}.

Simbòlicament, si c∈R{displaystyle cin mathbb {R} } o bé c=−∞{displaystyle c=-infty } o c=+∞{displaystyle c=+infty } i f{displaystyle f} i g{displaystyle g} són dues funcions derivables en un interval d'extrem c{displaystyle c} i g′(x)≠0{displaystyle g'(x)neq 0} en tot punt d'aquest interval, i a més es té

limx→cf′(x)g′(x)=l{displaystyle lim _{xto c}{f'(x) over g'(x)}=l}, on l∈R{displaystyle lin mathbb {R} } o bé l=−∞{displaystyle l=-infty } o l=+∞{displaystyle l=+infty }

{limx→cf(x)=limx→cg(x)=0olimx→c|g(x)|=+∞{displaystyle {begin{cases}lim _{xto c}{f(x)}=lim _{xto c}g(x)=0\{mbox{o}}\lim _{xto c}{|g(x)|}=+infty end{cases}}}

llavors,

limx→cf(x)g(x)=l.{displaystyle lim _{xto c}{f(x) over g(x)}=l.}

Observació: per a l'aplicació de la regla, cal que el límit f′g′{displaystyle {frac {f'}{g'}}} existeixi, i no sempre és així; en aquest últim cas, la regla de L'Hôpital no podria ser aplicada, però això no significa que tampoc existeixi el límit de f(x)g(x){displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}}}.

Aquesta regla rep el seu nom en honor al matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, Marquès de l'Hôpital (1661–1704), qui donà a conèixer la regla en la seva obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer text que s'ha escrit sobre càlcul diferencial. De tota manera, hom atribueix gran part del contingut d'aquest llibre (i aquest teorema en particular) a Johann Bernoulli, que tingué a L'Hôpital com alumne.

Exemples

• Exemple de resolució d'una indeterminació 00{displaystyle {frac {0}{0}}}:

limx→0sin⁡xx=limx→0cos⁡x1=11=1{displaystyle lim _{xto 0}{frac {sin x}{x}}=lim _{xto 0}{frac {cos x}{1}}={frac {1}{1}}=1}

Observació: Aquest límit en particular és usat normalment per a demostrar que la derivada de sin⁡(x){displaystyle sin(x)} és cos⁡(x){displaystyle cos(x)}, de manera que no podríem aplicar la regla de L'Hôpital perquè encara no se sabria derivar el numerador.

• Un altre exemple de resolució d'una indeterminació 00{displaystyle {frac {0}{0}}}. L'aplicació de la regla una sola vegada no resoldria el problema, ja que torna a sortir una indeterminació 00{displaystyle {frac {0}{0}}}. Per resoldre el límit, cal aplicar la regla successivament fins a tres vegades:

limx→02sin⁡x−sin⁡2xx−sin⁡x{displaystyle lim _{xto 0}{2sin x-sin 2x over x-sin x}}

=limx→02cos⁡x−2cos⁡2x1−cos⁡x{displaystyle =lim _{xto 0}{2cos x-2cos 2x over 1-cos x}}

=limx→0−2sin⁡x+4sin⁡2xsin⁡x{displaystyle =lim _{xto 0}{-2sin x+4sin 2x over sin x}}

=limx→0−2cos⁡x+8cos⁡2xcos⁡x{displaystyle =lim _{xto 0}{-2cos x+8cos 2x over cos x}}

=−2cos⁡0+8cos⁡0cos⁡0=6.{displaystyle ={-2cos 0+8cos 0 over cos 0}=6.}

• I un tercer exemple amb 00{displaystyle {frac {0}{0}}}.

limx→0ex−1−xx2=limx→0ex−12x=limx→0ex2=12.{displaystyle lim _{xto 0}{e^{x}-1-x over x^{2}}=lim _{xto 0}{e^{x}-1 over 2x}=lim _{xto 0}{e^{x} over 2}={1 over 2}.}

• Exemple de resolució d'una indeterminació ∞∞{displaystyle {frac {infty }{infty }}}:

limx→∞xln⁡(x)=limx→∞ 1/(2x) 1/x=limx→∞x2=∞.{displaystyle lim _{xto infty }{frac {sqrt {x}}{ln(x)}}=lim _{xto infty }{frac { 1/(2{sqrt {x}},) }{1/x}}=lim _{xto infty }{frac {sqrt {x}}{2}}=infty .}

• Un altre exemple amb ∞∞{displaystyle {frac {infty }{infty }}}.

On n{displaystyle n} és un enter positiu.

limx→∞xne−x=limx→∞xnex=limx→∞nxn−1ex=nlimx→∞xn−1ex.{displaystyle lim _{xto infty }x^{n}e^{-x}=lim _{xto infty }{x^{n} over e^{x}}=lim _{xto infty }{nx^{n-1} over e^{x}}=nlim _{xto infty }{x^{n-1} over e^{x}}.}

Cal aplicar la regla successivament fins que l'exponent és 0. Llavors hom veu que el límit val 0.

• Un altre exemple amb ∞∞{displaystyle {frac {infty }{infty }}}.

limx→0+xln⁡x=limx→0+ln⁡x1/x=limx→0+1/x−1/x2=limx→0+−x=0{displaystyle lim _{xto 0+}xln x=lim _{xto 0+}{ln x over 1/x}=lim _{xto 0+}{1/x over -1/x^{2}}=lim _{xto 0+}-x=0}

• I encara un últim exemple.

limx→0sin⁡(πf0t)cos⁡(παf0t)πf0t[1−(2αf0t)2]=πf0πf0=1.{displaystyle lim _{xto 0}{frac {sin left(pi f_{0}tright)cos left(pi alpha f_{0}tright)}{pi f_{0}tleft[1-left(2alpha f_{0}tright)^{2}right]}}={frac {pi f_{0}}{pi f_{0}}}=1.}

Demostració

En aquesta demostració, s'usa el teorema del valor mitjà de Cauchy. Sota la resta d'hipòtesis del teorema, es consideren, per separat els casos f(x)→0,g(x)→0{displaystyle f(x)to 0,g(x)to 0} i |g(x)|→+∞{displaystyle |g(x)|to +infty }.

1) Cas amb f(x)→0,g(x)→0{displaystyle f(x)to 0,g(x)to 0}:

En primer lloc, es redefineixen contínuament les ordenades de les funcions f(x){displaystyle f(x)} i g(x){displaystyle g(x)} en el punt x=c{displaystyle x=c} per 0{displaystyle 0}. Això no canvia el límit car el valor de la imatge del punt no canvia el valor del seu límit (per definició de límit).

Segons el teorema del valor mitjà de Cauchy existeix una constant ξ{displaystyle xi } en c<ξ<c+h{displaystyle c<xi <c+h} tal que:

f′(ξ)g′(ξ)=f(c+h)−f(c)g(c+h)−g(c){displaystyle {f'(xi ) over g'(xi )}={f(c+h)-f(c) over g(c+h)-g(c)}}

Com que f(c)=g(c)=0{displaystyle f(c)=g(c)=0},

f′(ξ)g′(ξ)=f(c+h)g(c+h){displaystyle {f'(xi ) over g'(xi )}={f(c+h) over g(c+h)}}

Si h→0{displaystyle hto 0}, llavors ξ→c{displaystyle xi to c} i

limx→cf′(x)g′(x)=limh→0f′(ξ)g′(ξ)=limh→0f(c+h)g(c+h)=limx→cf(x)g(x){displaystyle lim _{xto c}{f'(x) over g'(x)}=lim _{hto 0}{f'(xi ) over g'(xi )}=lim _{hto 0}{f(c+h) over g(c+h)}=lim _{xto c}{f(x) over g(x)}}

2) Cas amb |g(x)|→+∞{displaystyle |g(x)|to +infty }:

Sigui x<y<x+h{displaystyle x<y<x+h}. Llavors, usant el teorema de valor mitjà de Cauchy:

f′(ξ)g′(ξ)=f(x)−f(y)g(x)−g(y){displaystyle {f'(xi ) over g'(xi )}={f(x)-f(y) over g(x)-g(y)}}

Expressió que es pot reescriure com

f(x)g(x)=g(y)g(x)+[1−g(y)g(x)]f′(ξ)g′(ξ){displaystyle {f(x) over g(x)}={g(y) over g(x)}+left[1-{g(y) over g(x)}right]{f'(xi ) over g'(xi )}}

i d'aquí es doden diferenciar els tres casos:

{limx→cf′(x)g′(x)=0limx→cf′(x)g′(x)=B∈Rlimx→cf′(x)g′(x)=±∞{displaystyle {begin{cases}lim _{xto c}{f'(x) over g'(x)}=0\\lim _{xto c}{f'(x) over g'(x)}=Bin mathbb {R} \\lim _{xto c}{f'(x) over g'(x)}=pm infty end{cases}}}

Noteu que el límit de f(x)g(x){displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}}} tendeix al mateix quan x→c{displaystyle xto c} que quan h→0{displaystyle hto 0}.

Altres aplicacions

Moltes altres indeterminacions, com 1∞{displaystyle 1^{infty }}, ∞0{displaystyle infty ^{0}}, o bé ∞−∞{displaystyle infty -infty } poden ser calculades també amb la regla de L'Hôpital.

Per exemple, per resoldre la indeterminació ∞−∞{displaystyle infty -infty }, l'expressió pot ser convertida a un quocient d'aquesta manera:

limx→∞x−x2−x=limx→∞(x+x2−x)(x−x2−x)x+x2−x{displaystyle lim _{xto infty }x-{sqrt {x^{2}-x}}=lim _{xto infty }{frac {left(x+{sqrt {x^{2}-x}}right)left(x-{sqrt {x^{2}-x}}right)}{x+{sqrt {x^{2}-x}}}}quad }

=limx→∞x2−(x2−x)x+x2−x{displaystyle =lim _{xto infty }{frac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{sqrt {x^{2}-x}}}}quad }

=limx→∞xx+x2−x{displaystyle =lim _{xto infty }{frac {x}{x+{sqrt {x^{2}-x}}}}quad }

=limx→∞11+2x−12x2−x=11+1=12{displaystyle =lim _{xto infty }{frac {1}{1+{frac {2x-1}{2{sqrt {x^{2}-x}}}}}}={frac {1}{1+1}}={frac {1}{2}}quad }

Altres mètodes per a la resolució de límits

Tot i que la regla de L'Hôpital és una bona eina per al càlcul de límits, no sempre és la més fàcil. Per exemple, alguns límits poden ser més fàcils de resoldre amb la descomposició en sèrie de Taylor, per exemple,

lim|x|→∞xsin⁡1x=lim|x|→∞x(1x−1x3⋅3!+1x5⋅5!−⋯){displaystyle lim _{|x|to infty }xsin {1 over x}=lim _{|x|to infty }xleft({1 over x}-{1 over x^{3}cdot 3!}+{1 over x^{5}cdot 5!}-cdots right);}

=lim|x|→∞1−1x2⋅3!+1x4⋅5!−⋯=1{displaystyle =lim _{|x|to infty }1-{1 over x^{2}cdot 3!}+{1 over x^{4}cdot 5!}-cdots ;=;1quad }