Regla de Leibniz (regla del producte generalitzada)
En càlcul, la regla de Leibniz, anomenada així en honor a Gottfried Leibniz, és una generalització de la regla del producte. Estableix que si f i g són funcions derivables n cops, llavors la n-èsima derivada del producte fg ve donada per
- (f⋅g)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k){displaystyle (fcdot g)^{(n)}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}
on (nk){displaystyle {n choose k}} és el coeficient binomial habitual.
Això es pot demostrar per inducció emprant la regla del producte.
Emprant notació multi-index la regla estableix pel cas general de derivades parcials:
- ∂α(fg)=∑β≤α(αβ)(∂α−βf)(∂βg){displaystyle partial ^{alpha }(fg)=sum _{beta leq alpha }{alpha choose beta }(partial ^{alpha -beta }f)(partial ^{beta }g)}
Que és el que en resulta d'aplicar la fórmula anterior a cada component del multi-index.
