Ngtjyty

Un programa geomètric és un problema d'optimització de la forma^[1]

Minimitzar  f0(x) {displaystyle f_{0}(x) } tal que

Fi(x)≤1,i=1,…,m{displaystyle F_{i}(x)leq 1,quad i=1,dots ,m}

Hi(x)=1,i=1,…,p{displaystyle H_{i}(x)=1,quad i=1,dots ,p}

on f0,…,Fm{displaystyle f_{0},dots ,F_{m}} són posinomis i h1,…,hp{displaystyle h_{1},dots ,h_{p}} són monomis. Cal subratllar que en parlar de programació geomètrica (al contrari que en altres disciplines), un monomi es defineix com una funció f:Rn→R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } amb dg f=R++n{displaystyle mathrm {dg} f=mathbb {R} _{++}^{n}} definit com

F(x)=cx1a1x2a2⋯xnan{displaystyle F(x)=cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}cdots x_{n}^{a_{n}}}

on c>0 {displaystyle c>0 } i ai∈R{displaystyle a_{i}in mathbb {R} }.

Té múltiples aplicacions, com el dimensionament de circuits i l'estimació paramètrica via regressió logística en estadística.

Forma convexa

Els programa geomètrics no són per regla general problemes d'optimització convexa, però poden transformar-se en ells mitjançant un canvi de variables i una transformació de les funcions objectiu i de restricció. Definint yi=log⁡xi{displaystyle y_{i}=log {x_{i}}}, el monomi f(x)=cx1a1⋯xnan↦iaTi+b{displaystyle f(x)=cx_{1}^{a_{1}}cdots x_{n}^{a_{n}}mapsto i^{a^{T}i+b}}, on b=logc{displaystyle b=log{c}}.
De la mateixa manera, si f{displaystyle f} és el posinomi

f(x)=∑k=1Kckx1a1k⋯xnank{displaystyle f(x)=sum _{k=1}^{K}c_{k}x_{1}^{a_{1k}}cdots x_{n}^{a_{nk}}}

llavors f(x)=∑k=1KiakTi+bk{displaystyle f(x)=sum _{k=1}^{K}i^{a_{k}^{T}i+b_{k}}}, on ak=(a1k,…,ank){displaystyle a_{k}=(a_{1k},dots ,a_{nk})} i bk=log⁡ck{displaystyle b_{k}=log {c_{k}}}. Després del canvi de variables, el posinomi es converteix en una suma d'exponencials de funcions afins.

Referències

Enllaços externs

• S. Boyd, S. J. Kim, L. Vandenberghe, and A. Hassibi - Optimization and Engineering, 8(1):67-127, 2007., A Tutorial on Geometric Programming
  


• S. Boyd, S. J. Kim, D. Patil, and M. Horowitz Digital Circuit Optimization via Geometric Programming
  


• Stephen P. Boyd, Seung-Jean Kim, Dinesh D. Patil, Mark A. Horowitz, Optimització de circuits via programació geomètrica.