Inductància
 | L'article o secció necessita millores quant al seu format. |
 | Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
| Tipus | magnitud física |
|---|---|
| Fórmula | v(t)=Ldidt{displaystyle displaystyle v(t)=L,{frac {di}{dt}}} |
 | |
La indutància és una mesura del flux magnètic Φ{displaystyle Phi } al llarg d'un circuit elèctric creat per un corrent elèctric que flueix a través d'un circuit elèctric i, en conseqüència, crea un camp magnètic; en el Sistema Internacional es mesura en henrys (símbol H{displaystyle H}), en honor a Joseph Henry. Es pot definir com el factor de proporcionalitat entre el flux produït i la intensitat del corrent que el genera:
- L=Φi{displaystyle L={frac {Phi }{i}}}
on L{displaystyle L} és la inductància, i{displaystyle i} és la intensitat de corrent (en amperes) i Φ{displaystyle Phi } és el flux de camp magnètic (en webers). S'utilitza el símbol L{displaystyle L} per a la inductància en honor al físic Heinrich Lenz. El mateix terme "inductància" fou establert per Oliver Heaviside el febrer del 1886. La fórmula anterior utilitzant les unitats del SI, seria:
- 1H=1Wb1A{displaystyle 1H={frac {1Wb}{1A}}}
En realitat, la quantitat que acabem de definir és l'anomenada autoinductància, ja que el camp magnètic és creat només pel conductor que transporta el corrent.
D'acord amb la llei d'Ampère i la llei de Lenz, el flux de camp magnètic crea una força electromotriu induïda (vind{displaystyle v_{ind}}) al conductor que s'oposa a qualsevol variació del corrent original, de manera que
- vind=−dΦdt{displaystyle v_{ind}=-{frac {dPhi }{dt}}}
i substituint el flux per L×i{displaystyle Ltimes i}, segons la definició d'inductància que hem donat:
- vind=−LdIdt{displaystyle v_{ind}=-L{frac {dI}{dt}}}
de manera que podem considerar la inductància com el factor de proporcionalitat entre la força electromotriu induïda i la variació temporal de la intensitat.
Propietats de la inductància
L'equació que relaciona la inductància amb el flux magnètic pot ser modificada d'aquesta manera:
- Φ=Li{displaystyle Phi =Li,}
Prenent la derivada respecte del temps als dos costats de l'equació tindrem:
- dΦdt=Ldidt+idLdt{displaystyle {frac {dPhi }{dt}}=L{frac {di}{dt}}+i{frac {dL}{dt}},}
En moltes situacions la inductància és constant al llarg del temps, per tant
- dΦdt=Ldidt{displaystyle {frac {dPhi }{dt}}=L{frac {di}{dt}}}
Segons la llei de Faraday de la inducció tenim:
- dΦdt=−E=v{displaystyle {frac {dPhi }{dt}}=-{mathcal {E}}=v}
on E{displaystyle {mathcal {E}}} és la força electromotriu (fem) i v{displaystyle v} és el voltatge induït. Noteu que la fem és oposada al voltatge induït, així:
- didt=vL{displaystyle {frac {di}{dt}}={frac {v}{L}}}
o
- i(t)=1L∫0tv(τ)dτ+i(0){displaystyle i(t)={frac {1}{L}}int _{0}^{t}v(tau )dtau +i(0)}
Aquestes equacions juntes determinen que per a un voltatge estable induït v, en corrent canvia de manera lineal, segons una raó proporcional al voltatge aplicat, però inversament proporcional a la inductància. Inversament, si el corrent que passa a través de l'inductor canvia de manera constant, el voltatge induït serà constant.
L'efecte de la inductància pot ser estes utilitzant una simple espira de fil conductor com a exemple. Si sobtadament apliquem un voltatge als extrems de l'espira, el corrent canviarà de zero a un valor diferent de zero. Però un corrent diferent de zero induirà un camp magnètic segons la llei d'Ampère, i aquest canvi del camp magnètic induirà una fem que serà oposada a la direcció del canvi en el corrent, la magnitud d'aquesta fem serà proporcional al canvi en el corrent i a la inductància. Quan aqueste forces oposades són en equilibri, el resultat serà un corrent que s'incrementarà linealment amb el temps i on la quantitat de canvi serà determinat pel voltatge aplicat i per la inductància.
Multiplicant l'equació anterior per di/dt{displaystyle di/dt}, amb Li{displaystyle Li} tindrem
- Lididt=ddtL2i2=iv{displaystyle Li{frac {di}{dt}}={frac {d}{dt}}{frac {L}{2}}i^{2}=iv}
Com iv és l'energia transferida al sistema a cada moment, tindrem que (L/2)i2{displaystyle left(L/2right)i^{2}} és l'energia del camp magnètic generada pel corrent.
Anàlisi de circuits fasors i impedància
Utilitzant fasors, la impedància equivalent d'una inductància vindrà donada per:
- ZL=V/I=jLω{displaystyle Z_{L}=V/I=jLomega ,}
on
XL=Lω{displaystyle X_{L}=Lomega ,} és la reactància inductiva,
ω=2πf{displaystyle omega =2pi f,} és la freqüència angular,
L és la inductància,
f és la freqüència, i
j és la unitat imaginària.
Força electromotriu induïda
El flux Φi {displaystyle Phi _{i} !} al través d'una part i-èsima d'un circuit vindrà donat per:
- Φi=∑jMijIj=LiIi+∑j≠iMijIj{displaystyle Phi _{i}=sum _{j}M_{ij}I_{j}=L_{i}I_{i}+sum _{jneq i}M_{ij}I_{j},}
per tant la força electromotriu induïda, E{displaystyle {mathcal {E}}}, a una part específica, i, a cada circuit donat vindrà determinada directament per:
- E=−dΦidt=−ddt(LiIi+∑j≠iMijIj)=−(dLidtIi+dIidtLi)−∑j≠i(dMijdtIj+dIjdtMij).{displaystyle {mathcal {E}}=-{frac {dPhi _{i}}{dt}}=-{frac {d}{dt}}left(L_{i}I_{i}+sum _{jneq i}M_{ij}I_{j}right)=-left({frac {dL_{i}}{dt}}I_{i}+{frac {dI_{i}}{dt}}L_{i}right)-sum _{jneq i}left({frac {dM_{ij}}{dt}}I_{j}+{frac {dI_{j}}{dt}}M_{ij}right).}
